数理科学と日本古代史のブログ

　一般に、２つの存在述語記号 σ , τ に対し、

(1) (σ∨τ)(T) ≡ σ(T) ∨ τ(T)

と定義すると、σ∨τ は１変項述語記号のように扱えるので、(σ∨τ)理論というものを考えることができます。これを理論 σ と理論 τ の和理論とよぶことにします。

　そこで、理論 τ に対し、それ自身とその冪理論 2^τ の和理論 τ∨2^τ のことを、理論 τ 上の集合論とよぶことにし、これを τ* と書くことにします：

(2) τ* ≡ τ∨2^τ

　この理論 τ* は、もとの理論 τ と、その上の冪理論を共に扱う理論である、ということになります。
　すると、理論 τ* も一つの理論ですから、この理論の上の集合論 τ** を考えることができます。ただし

(3) τ** ≡ (τ*)* ≡ τ*∨2^τ*

です。
　以下同様にして、τ*** , τ**** … といくらでも考えることができますが、このようなモノを、τ 上の高階の集合論といいます。
　このような高階の集合論を用いれば、初等的な解析学や代数などの数学を実際に展開することができます。

　例えば、順序対という概念があります。つまり、ある理論 τ の τ項 a , b に対して (a, b) という何らかの項を定義して

(4) (a, b) = (c, d) ⇔ a=c ∧ b=d

が成り立つようなものを順序対とよびますが、これは、具体的に、τ**項として

(5) (a, b) ≡ {{a, a}, {a, b}}'

と定義すればよいのです。ただし

(6) {a, b} ≡ { x | x=a ∨ x=b }

は 2^τ 項で、従って τ* 項であり、理論 τ* 上の冪項を一般に {X|R(X)}' と書くことにして、

(7) {S, T}' ≡ { X | X=S ∨ X=T }'

と書きました。これと、その一例である (5) は 2^τ* 項ですから、確かに τ** 項になっています。
　また、(5) による順序対の定義は、ZF集合論などでおなじみのクラトフスキーによる定義と全く同じですが、これが実際に (4) を満たすことは、よくある練習問題なので、容易に確かめることができます（排中律や外延性公理は必要ないことに注意）。

　また、２項関係というのは、順序対から成る集合とみなすことができますから、これは τ*** 項と考えることができます。すなわち

(8) 「R は２項関係である」≡ τ***(R) ∧ ∀z∈R ∃_τx ∃_τy z=(x, y)

　そして、２項関係 F のうち、

(9) (x,y)∈F ∧ (x,z)∈F ⇒ y=z

を満たすものを写像とよぶことができ、写像 F に対し、

(10) F(x) ≡ εy[(x,y)∈F]

と置けば、理論 τ*** において写像の概念が定義できることがわかります。

　従って、τ が自然数論 N の場合は、理論 N*** において、自然数上の関数を定義することができるので、特に加法が定義でき、また自然数の順序対も定義できるので、整数という概念も定義することができます。また、N***** においては、整数からなる順序対として有理数の概念も定義できますから、更に理論 N******** では、自然数から有理数への写像、すなわち有理数列が定義できるので、コーシー列が定義でき、従って実数も定義できることになります。

　以上のように、冪理論という理論拡大を用いることによって、必要なだけ高階の集合論を用いれば、初等的な解析学を展開することができることは明らかだと思います。
　ただ、必要になるたびにいちいち理論を拡大しなければならないのは、ちょっと面倒です。
　そこで次回は、あくまで“形式化の原理”の範疇で、一つの固定された理論の中で冪理論のような理論拡大に相当することができるような方法について考察します。