数理科学と日本古代史のブログ

　今回は、前回の謎のタネ明かしをする前に、「ε公理」と「排中律」の関係について、新たな問題を提供します。

　等号の消去規則というのは次の推論規則でした：

(1) R(s) と s = t から R(t) が導ける。

　これは、命題が与えられたとき、その中に現れる項を、それと“等しい”項に置き換えてよいことを意味しています。

　さて、項のかわりに命題について同じことを考えてみましょう。
　２つの命題 P , Q に対し、項の場合の「等しい」に対応する概念は「同値」です。従って、次の“推論規則”を課すのは自然に思えます：

(2) R(P) と P ⇔ Q から R(Q) が導ける。

　さて、この (2) を許すと、ε量化記号に対して、次の推論規則が導かれます：

(3) x が自由変数のとき、P ⇔ Q が成り立つならば、εxP = εxQ が導かれる。

　なぜかというと、まず等号の導入規則により、

(4) εxP = εxP

は定理です。
　そこで、命題を表わすメタ変数 A を含む命題 R(A) を

(5) R(A) ≡ εxP = εxA

で定義します。すると、等号の導入規則による (4) は R(P) と書くことができますが、一方で P ⇔ Q なので、推論規則 (2) により R(Q) すなわち

(6) εxP = εxQ

が得られる、というわけです。
　以上のようにして“推論規則” (2) により“導かれ”た (3) のことをε公理といいます。
　かの有名なBourbakiも、このε公理を数学の公理として採用しています。

　ところが、この推論規則は、前回に解説したものより弱い仮定のもとで、前回のものより強力な結論を導いてしまいます。すなわち

(7) a ≠ b

を満たす項 a , b が存在するようなすべての理論において、一般的な排中律：

(8) P ∨ ¬P

が導出できてしまうのです。この証明は次回に。