数理科学と日本古代史のブログ

　さて、相異なる対象が少なくとも一組存在する、すなわち

(1) a ≠ b

を満たす項 a と b が存在するような理論では、ε量化記号に対して、通常の推論規則：

(2) R(t) ⇒ R(εxR(x))　　　（ただし t は任意の項）

に加えてε公理：

(3) ∀x(P(x) ⇔ Q(x)) ⇒ εxP(x) = εxQ(x)

を仮定すると、任意の命題 R に対して排中律：

(4) R ∨ ¬R

が成り立つことを証明しましょう。

　実際、命題 P(x) と Q(x) を、

(5a) P(x) ≡ (x = a ∧ R) ∨ x = b

(5b) Q(x) ≡ x = a ∨ (x = b ∧ R)

で定義します。このとき明らかに

(6a) P(b)

(6b) Q(a)

が成り立ちますから、項 s と t を

(7a) s ≡ εxP(x)

(7b) t ≡ εxQ(x)

で定義すると、(2) により

(8a) P(s)

(8b) Q(t)

が成り立ちます。ところが、これらはそれぞれ

(9a) (s = a ∧ R) ∨ s = b

(9b) t = a ∨ (t = b ∧ R)

が成り立つことを意味しますから、場合分けにより

(10a) s = a ∧ R

(10b) t = b ∧ R

(10c) s = b ∧ t = a

のいずれかが成り立ちます。

　このうち、(10a) と (10b) の場合は R が成り立ちます。

　また、(10c) の場合は、R を仮定すると、(5a) と (5b) は同値な命題になりますから、(3) の左辺が成り立ち、従って (3) の右辺、すなわち

(11) s = t

が得られ、これと (10c) から a = b が得られるので (1) と矛盾します。すなわち (10c) のもとでは ¬R が成り立つことがわかります。
　以上により、任意の命題 R に対して排中律 (4) が成り立つことがわかりました。