数理科学と日本古代史のブログ

　前回の説明で、自然数論の場合に、「n は自然数である」ということを示す１変項述語 N を導入し、自然数論の公理それ自体を「自然数が満たす性質」であることを明記する形に書き換えることによって、非構成的な結果が得られなくなることを確かめました。
　それでは、このような事実は今まで解説してきた“形式化の原理”の観点からはどのように理解したらよいのでしょうか。

　そもそもε量化記号を導入したとき、命題 R(x) に対して R(T) を満たす項 T が見つかったとき、そのようなもの（の一つ）を εxR(x) と書いて形式化したのでした。

　しかし、そのような項 T が見つかっていない場合は εxR(x) は一体何を表わしているのでしょうか？

　これを、便宜的に、「そのような場合は、予め決めておいた項 c のことを表わすことにし、もし後から R(T) を満たす項 T が見つかったら、過去に遡ってそのような項 T を表わすことに定義しなおす」という規約がうまくいかないことは既に実例で確かめました。

　つまり、当該理論において R(T) を満たす項が見つかっていなくても、その理論にある命題を公理として付け加えた理論では R(T) を満たす項が見つかっている場合があり、両理論における εxR(x) の定義が衝突してしまう場合があるわけです。

　つまり、εxR(x) が何かを表わしているならば、それは R を満たしているのでなければ不具合が生じるのです。
　言い換えると、R を満たす項が見つからない間は、εxR(x) は何も表わしていてはいけないのです！
　しかしながら、εxR(x) というのはまぎれもなく項です。
　ということは、ε量化記号を導入するのであれば、何も表わしていない項というモノの存在を許すような理論体系になっていなければならない、ということです。

　これは、一見突飛なことを主張しているように思うかもしれませんが、実はそのような概念は結構初等的な数学でよく出てきているのです。
　たとえば、解析学における lim x_n というような記号を考えると、これは、点列 { x_n } が収束する場合は、その極限を表わしますが、もしこの点列が収束しない場合は何も表わしていないはずです。また

(1) f:A → B ⇒ f(x)∈B

などと書いたときも、f:A → B が確かに成り立っている場合、すなわち f が A から B への写像であるということが成り立っている場合には、f(x) という記号は意味を持ちますが、一般に P ⇒ Q という論理式を与えたからといって必ずしも P が成り立っているということを意味しないことからわかるように、(1) という論理式それ自体を考えたとき、文字 f は必ずしも関数であるとは限らず、従ってそのような場合は f(x) という記法は何も表わしていないはずです。

　このように、「項だからといって何かを表わしているとは限らない」と考えることは全く自然な発想であり、また上記のように数学の様々な場面を考えると、そのように考えることは数学においては必須であるとさえ言えるのです。

　そこで、一般に、ある理論を考察するとき、項だからといって必ずしも何かを表わしているとは限らないということを前提にして、その上で「項 T が当該理論における何かを表わしている」という概念を τ(T) と書いて、これを形式化することにしましょう。
　すなわち、当該理論に１変項述語記号 τ を追加し、与えられた理論が定項 c （例えば自然数論であれば 0 ）を持つときは、「c は何かを表わしている」ということを主張する命題：

(2) τ(c)

を公理に追加します。同様に、関数記号 f を持つ場合は、

(3) τ(x) ∧ … ∧ τ(z) ⇒ τ(f(x,…,z))

という公理も付け加えます。
　そして、当該理論本来の公理も、そこに出てくる量化記号 ∀ と ∃ を、次で定義される限定量化記号 ∀_τ と ∃_τ で置き換えます：

(4) ∀_τx R(x) ≡ ∀x [τ(x) ⇒ R(x) ]

(5) ∃_τx R(x) ≡ ∃x [τ(x) ∧ R(x) ]

　このようにして理論の公理を設定しなおしてからε量化記号を導入する、ということにするわけです。

　このような記号 τ を、存在述語記号（ existence predicate ）とよぶことがあり、“形式化の原理”に基づく数学では必須の記号です。

　通常の古典論理に基づく数学であれば、「R(x) を満たす x が存在すればそのようなものの一つを、存在しなければ 0 を表わす」として εxR(x) は常に確定した意味を持つようにすることができるのですが、排中律を持たない理論では、この場合分けがすべての場合を尽くしていないために、これでは定義になりません。ですから、直観主義論理の場合は、どうしても εxR(x) を場合分けによらないで定義する必要があり、そのためには“何も表わしていない”という概念が必要になるのです。

　さて、このような存在述語記号を導入したことで、数学で重要な集合の概念を、ラッセルのパラドクスが自然に回避できる形で導入することが可能になります。このことについては次回に説明します。