数理科学と日本古代史のブログ

　さて、今回からいよいよ“形式化の原理”を用いることによって「無」から「集合」の概念を構築する方法を解説します。

　これから解説するのは、素朴集合論やZF集合論のような、唯一の集合論、すなわち“The Set Theory”ではなく、任意に与えられた理論 τ に対して「τ 上の集合論」を構築する、という議論です。
　すなわち、個々の理論 τ に対して、その理論ごとにその上の集合論を構築する、という感じです。

　ちなみにここで「理論 τ」と書きましたが、この τ は、前回解説した存在述語記号です。
　なぜ与えられた理論を存在述語記号によって命名するのかというと、例えば自然数論において、存在述語記号 N を使うことによってその公理系を書き換えたとき、書き換え後の公理系は、一変項述語記号 N に関する性質を規定しているとみなすことができ、従って「自然数に関する議論」とは、要するに「述語 N に関する議論」である、と考えることができるからです。

　このように、“与えられた理論を、その公理で規定される存在述語記号と同一視する”ことにより、一つの推論体系の中で、複数の存在述語記号とそれぞれに対する公理系を同時に与えることによって、「異なる複数の理論」を「一つの推論体系」の中で同時並行的に展開することができるようになる、というメリットがあります。

　さて、前置きはこのくらいにして、与えられた理論 τ の上に、実際に集合論を展開する方法を述べます。

　当該理論 τ で用いられるどの記号とも異なる文字を一個用意し、それを例えば $ とします。
　そして、R を理論 τ における命題とするとき、文字 $ と R をこの順番に並べた上で、R に出てくる変数 x をすべて冒頭に書いた $ と鎖で結び、しかる後に鎖で結ばれた変数 x を文字 □ に一斉に置き換えて得られる文字列を {x|R} と書くことにします。そしてこのようにして作られる文字列を冪項とよぶことにします。

　冪項 {x|R} は、∀xR とか ∃xR とか εxR のような量化記号を用いて作られた記号列と同じような定義ですが、一つだけ違うところがあります。
　それは、∀xR や ∃xR や εxR が命題や項 であるのに対し、冪項 {x|R} は（その名前にもかかわらず）命題でも項でもない、という点です。なぜかというと、冪項の冒頭に書かれている $ という文字は、当該理論 τ で許されている記号ではないからです。

　さて、A が冪項である、ということを省略して 2^τ(A) と略記することにします。もちろん 2^τ というのは理論 τ で許されている記号などではなく、単なるメタ言語の省略記法にすぎません。

　次に、A を冪項、T を理論 τ の（ホンモノの）項とするとき、冪項 A は、その定義により、ある命題 R(x) によって {x|R(x)} と表わされるはずです。
　そこで、この命題 R(x) の変数 x のところに項 T を代入して得られる命題 R(T) のことを、メタ記法で T∈A と表記することにしましょう。
　この T∈A は、（冪項の場合とは違って）理論 τ における命題を表わしています。ただしそのかわり、ここに見かけ上出てくる ∈ というのは、当然理論 τ で許されている記号ではなく、ただのメタ記号に過ぎません。

　さて、上記のようにして定義された冪項という（記号列という具体的な世界における）概念は、明らかに次の性質を持っています。

(1) x が変数で、R(x) が命題なら 2^τ({x|R(x)}) が成り立つ。

(2) 変数 x と命題 R(x) と項 T に対し、命題 T∈{x|R(x)} は命題 R(T) と同値である。

　実際、(1) は 2^τ という省略記法や冪項の定義そのものですし、(2) では、後者は前者の定義なんですから、両者は同値どころか“記号列として全く同一”です。

　さて、ここで“形式化の原理”を発動します。
　すなわち、メタ言語における省略記法として導入してきた 2^τ や {x|R} や T∈A を、当該理論における記号列として正式に追加します。
　つまり、当該理論 τ に、新たに１変項述語記号 2^τ と、量化記号 $ と２変項述語記号 ∈ を正式に追加し、上記の (1) と (2) を推論規則として追加するわけです。

　さて、ここまでの話をどう感じるでしょうか？
　“集合”という概念を、素朴集合論でいう“モノの集まり”としてではなく、無味乾燥な、ある形の記号列のことであると定義し、また T∈A というのを、項 T が集合 A に属す、という意味ではなく、単に T が冪項 A を構成する命題を満たす、という命題を略記したものである、というのです。
　集合概念をこのように定義することによって、何やら得体の知れない思考の産物ではなく、記号列からなる具体的な対象として扱うことができるのです。

　次回は、このような立場でラッセルのパラドクスがどう解消されるのか等について考察します。