数理科学と日本古代史のブログ

　さて、高階の集合論において、T がある n≧1 に対する τ_n項であることを set(T) と書いて T は集合であると言い、τ項と集合を総称して τ'項とよび、ある n と m＞n に対して τ_n(a) かつ τ_m(b) かつ a∈_mb が成り立つことを a∈b と略記することにします。
　また、X∈A が成り立つとき、X は A の元である、X は A に属すといい、A に属す τ'項 は必ず B に属すとき A⊂B と書いて A は B に包含されると言い、A⊂B と B⊂A が共に成り立つとき A〜B と書いて A と B は元が共通であると言うことにします。
　ただしここで出てきた set や τ' や ∈ や ⊂ や 〜 は、理論内部の記号ではなく、メタ記号です。このとき次の性質が成り立ちます。

(1) τ項をすべて元に持つ集合が存在する。

(2) A と B が τ'項なら、A と B が共に属す集合が存在する。

(3) 元がすべて集合であるような集合 A に対し、A の元の元がすべて属するような集合が存在する。

(4) A を集合とするとき、A に包含されるどんな集合に対しても、それと元が共通な集合を元に持つような集合 B が存在する。

(5) 集合 A と命題 R(x) に対し、A の元で R(x) を満たすことと B の元であることが同値であるような集合 B が存在する。

　例えば (1) は、{x|x=x}₁ という集合は、確かに τ項をすべて元に持つ集合になっています。

　また、(2) を確かめるには、A と B が τ'項なら、定義により、ある n と m があって、τ_n(A) と τ_m(B) が成り立ちますから、n≦m とすれば、高階集合の定義から τ_m(A) が成り立つので、m+1階の集合である {x|x=x}_n+1 を C と書けば、A∈_n+1C かつ B∈_n+1C となり、∈ の定義により A∈C かつ B∈C となります。

　また、(3) は、A を τ_n項とするとき、A は集合なので n≧1 ですが、A の元はやはり τ_n項であり、同様に A の元の元も τ_n項ですから、{x|x=x}_n+1 は確かに A の元の元がすべて属するような集合になっています。

　次の (4) は、ちょっと注意が必要です。
　この (4) は、要するに「X⊂A ならば、X〜Y かつ Y∈B となる Y が存在する」と主張しているわけですが、なぜ X⊂A なら X 自体が B に属すと言えないのかというところに注意する必要があります。
　実際、X が A に包含される、すなわち X⊂A が成り立つからといって、τ_n(X) であるとは限らないところがポイントです。⊂ の定義によれば、「X の任意の元は A に属す」というだけですから、X は m＞n であるような m に対して τ_m(X) である可能性があります。例えば

(6) X_m ≡ {z|⊥}_m

と置けば（すなわち m 階の空集合！）、確かに X_m⊂A になっています。m はいくらでも大きく取ることができますが、そのような X_m をすべて元に持つような集合は作れません。なぜならどんな集合 B もある階数 k を持つはずですから、B は m＜k であるような m 階の集合（あるいは τ項）しか元には持てないからです。
　そこで、Y ≡ { z | z∈_nX }_n と改めて定義してやれば、Y〜X かつ Y∈{z|z=z}_n+1 が成り立つので、B ≡ {z|z=z}_n+1 と置けばよいことがわかります。

　最後の (5) は、A が {x|P(x)}_n と書けるとき、B ≡ {x|P(x)∧R(x)}_n と置けばＯＫです。

　さて、何をしようとしているかはもうおわかりかと思いますが、上述の (1)〜(5) は、高階の集合論において、メタ記号 τ' や ∈ を定義したとき、これらのメタ概念が持っている性質です。そこで、これまでと同様な“形式化の原理”に基づき、これらの記号を正式に理論内部の概念として取り込み、かつ上述の (1)〜(5) を公理として追加することにします。

　このようにしてして得られる理論を、理論 τ 上の再帰的集合論とよぶことにしたいと思います。