http://red.ap.teacup.com/stromdorf/ 数理科学と日本古代史のブログ ja 2008-03-22T11:34:44+09:00 http://red.ap.teacup.com/stromdorf/71.html 　今回はちょっと表題について面白い話題を一つ。 　Banach-Tarskiの背理というのは、いろいろな言い方がありますが、「豆粒大の球を有限個の部分に分割して組み合わせなおすと、あーら不思議！太陽の大きさの球ができる」という定理なのですが、一見、体積を考えるとそんなことはあり得ないように見えることからパラドクス（背理）と呼ばれています。 　しかしもちろん、これはパラドクスでも何でもなく、れっきとした定理で、有限個に分割された各パーツはそもそも「体積が定義できない」ので、パラドクスではないのです。 　ただし... 2008-03-22T11:30:39+09:00 http://red.ap.teacup.com/stromdorf/70.html 　だいぶ間が開いてしまいましたが、直前の書き込み以降、その定義において一箇所だけ修正しようと思った箇所があります。 　再帰的集合論については、私のWebサイト「数学の基礎」の第５節で解説していますが、そこでは既に修正を反映しています。 　それは、和集合の公理をやめて、それより強い推移性公理を置く、というものです。　一般に、集合 a は、x∈a ⇒ x⊂a であるとき推移的であるといいます。この条件は y∈x∈a ⇒ y∈a と書けますから、これは２項関係 ∈ が推移律を満たすことを意味しています。 　そこで、推移性公... 2008-03-21T07:32:29+09:00 http://red.ap.teacup.com/stromdorf/69.html 　今までに、“形式化の原理”、すなわち特定の記号列、あるいは記号列に関する特定の状態に名前を付け、それが持つ構文論的な性質を列挙し、しかる後にその名前を付けたモノを理論内部の記号として改めて追加すると共に、それが持っていた構文論的な性質を推論規則あるいは公理の形に翻訳する、という方法で理論拡大していく手法を具体的に説明してきました。 　独断的な名前ですが、こうして得られた理論を「根拠のある理論」と呼ぶことにしましょう（もちろん、これは“根拠がある”という概念に対する考え方の一つに過ぎず、それ以... 2008-03-08T08:14:36+09:00 http://red.ap.teacup.com/stromdorf/68.html 　前々回の「可算選択公理の根拠(2-35)」の解説を若干追加し、誤りを訂正しました。 2008-03-07T07:03:41+09:00 http://red.ap.teacup.com/stromdorf/67.html 　前回解説した再帰的集合論の公理を論理式で表現してみましょう。　まず、高階の集合論のことはとりあえず忘れて、与えられた理論 τ に対し、１変項述語記号 set と２変項述語記号 ∈ を追加し、更に次のような省略記号を導入します： (1a) τ'(x) ≡ τ(x) ∨ set(x) (1b) ∀x∈a R(x) ≡ ∀x [ x∈a ⇒ R(x) ] (1c) ∃x∈a R(x) ≡ ∃x [ x∈a ∧ R(x) ] (1d) a⊂b ≡ set(a) ∧ set(b) ∧ ∀x∈a ( x∈b ) (1e) a〜b ≡ a⊂b ∧ b⊂a 　以上のもとで、次の公理群を追加します： (2a) ∃seta ∀τx ( x∈a ) (2b) ∀... 2008-03-06T07:01:10+09:00 http://red.ap.teacup.com/stromdorf/66.html 　さて、高階の集合論において、T がある n≧1 に対する τn項であることを set(T) と書いて T は集合であると言い、τ項と集合を総称して τ'項とよび、ある n と m＞n に対して τn(a) かつ τm(b) かつ a∈mb が成り立つことを a∈b と略記することにします。 　また、X∈A が成り立つとき、X は A の元である、X は A に属すといい、A に属す τ'項 は必ず B に属すとき A⊂B と書いて A は B に包含されると言い、A⊂B と B⊂A が共に成り立つとき A〜B と書いて A と B は元が共通であると言うことにします。 　ただし... 2008-03-05T07:02:20+09:00 http://red.ap.teacup.com/stromdorf/65.html 　前回は、与えられた理論 τ 上の高階の集合論 τ**…* を用いると、初等的な数学はほとんど展開できることを説明しました。 　実用上はこれで十分かもしれませんが、いちいち途中で理論を拡大しながら議論するというのはかなり煩わしいことです。 　そこで、このような理論拡大が固定した理論の中で自由に行えるようにできたら便利です。　そこで、次のような考察を行ってみます。 　τ項を第0階の項とよび、τ*項を第1階の項とよび、τ**項を第2階の項とよび、以下同様とします。 　また、n が 1 以上のとき、第n階の項というのは ... 2008-03-04T06:57:06+09:00 http://red.ap.teacup.com/stromdorf/64.html 　一般に、２つの存在述語記号 σ , τ に対し、 (1) (σ∨τ)(T) ≡ σ(T) ∨ τ(T) と定義すると、σ∨τ は１変項述語記号のように扱えるので、(σ∨τ)理論というものを考えることができます。これを理論 σ と理論 τ の和理論とよぶことにします。　そこで、理論 τ に対し、それ自身とその冪理論 2τ の和理論 τ∨2τ のことを、理論 τ 上の集合論とよぶことにし、これを τ* と書くことにします： (2) τ* ≡ τ∨2τ 　この理論 τ* は、もとの理論 τ と、その上の冪理論を共に扱う理論である、ということになります。... 2008-03-03T07:14:39+09:00 http://red.ap.teacup.com/stromdorf/63.html 　さて、新しく導入した「冪項」という概念こそが、形式化の原理の観点による「素朴集合論」に他なりません。 　さて、この冪理論ですが、一つ注意しなければならないことがあります。 　それは、冪項については外延性公理： (1) 2τ(A) ∧ 2τ(B) ∧ ∀x[x∈A ⇔ x∈B] ⇒ A = B が成り立たないという事実です。　すなわち、冪項間の等号を証明すべき公理も推論規則も無いのですから、(1) が導出できるはずがありません。 　これは、ある意味当然で、もともと冪項というのは、{x|R(x)} という記号列のことであり、それを理論内部の... 2008-03-01T09:20:34+09:00 http://red.ap.teacup.com/stromdorf/62.html 　今回はラッセルのパラドクスについて考察してみます。　前回は、冪項という概念を導入し、その記号列が持つ性質： (1) x が変数で、R(x) が命題なら 2τ({x|R(x)}) が成り立つ。 (2) 変数 x と命題 R(x) と項 T に対し、命題 T∈{x|R(x)} は命題 R(T) と同値である。 を“形式化の原理”によって理論内部の概念に“翻訳”することにより理論を拡大する方法を説明しました。 　ところで、上記の (1) と (2) は推論規則として翻訳されるわけですが、その際に注意しないと、以下のようにしてラッセルのパラドクスが生じます。 　命... 2008-02-29T07:03:33+09:00